Ohmův a Kirchhoffův zákon

Ohmův a Kirchhoffův zákon

K popisu různých fyzikálních jevů, ať už přirozeně probíhajících v přírodě, nebo v uměle vytvořených systémech, je nutné použít vhodné matematické nástroje k jejich vizualizaci.

V 17. až 19. století našeho letopočtu řada vědců díky své dlouholeté výzkumné práci v oblasti elektromagnetismu vyvinula základní fyzikální zákony a matematický aparát, na nichž je založena elektrotechnika a příbuzné vědy, jako je elektronika. Mezi vědce, kteří v této oblasti sehráli klíčovou roli, patří Georg Simon Ohm a Robert Gustav Kirchhoff, kteří vypracovali po nich pojmenované elektrotechnické zákony používané při analýze elektrických obvodů.

Účelem Ohmova a Kirchhoffova zákona je určení proudů a napětí v elektrických obvodech a v závislosti na vlastnostech zkoumaného objektu se tyto zákony mohou objevit v různých podobách zohledňujících další faktory. Oblast použití Ohmových a Kirchhoffových zákonů může sahat od elektronických obvodů pracujících s napětím 3,3 V, 5,0 V nebo 12,0 V až po domácí a průmyslové elektrické instalace s napětím 230/400 V, jakož i elektrárny, vedení a rozvodny pracující s napětím 110000 V a vyšším.

V tomto článku se seznámíme s fyzikálními a matematickými základy Ohmova a Kirchhoffova zákona a s jejich praktickým využitím.

Fyzikální veličiny, které jsou základem Ohmova a Kirchhoffova zákona

Pro pochopení základů analýzy elektrických obvodů je nezbytná znalost několika fyzikálních veličin a jejich označení a jednotek. Patří mezi ně:

• Proud (označovaný písmenem “I”) – jednotka je 1A (Ampér) – popisuje tok elektrického náboje 1C (Coulomb), který projde určitým bodem v obvodu za 1s (sekundu). To je popsáno vztahem:

I =Q/t (1.1)

Kde:

I – proud [A];

Q – elektrický náboj [C] – 1C = 6,24 x10¹⁸ elementárního náboje (elektronu);

t – čas [s];

• Napětí (označované písmenem “U”) – jednotka je 1V (volt) – je rozdíl potenciálů na obou koncích obvodu, který určuje práci 1J (joul) potřebnou k přenosu 1C (coulomb) z jednoho bodu elektrického obvodu do druhého, což vyjadřuje vztah:

U =V1 – V2 =W/Q (1.2)

Kde:

U – napětí [V];

V₁ ^.– elektrický potenciál na začátku obvodu [V];

V₂ ^.– elektrický potenciál na začátku obvodu [V];

Q – elektrický náboj [C] – 1C = 6,24 x10¹⁸ elementárního náboje (elektronu).

Rozdíl potenciálů V₁a V₂ uvedený ve výše uvedeném vzorci říká, že v obvodu dochází k toku proudu od vyššího k nižšímu potenciálu. V mechanice tekutin je analogií tohoto jevu proudění vody z oblastí s vyšším hydrostatickým tlakem do oblastí s nižším hydrostatickým tlakem.

Ohmův zákon a jeho matematický a fyzikální smysl

V roce 1827 formuloval německý fyzik a matematik Georg Simon Ohm fyzikální zákon popisující vztah mezi elektrickým proudem a elektrickým napětím, který je známý jako Ohmův zákon a který říká, že při konstantní teplotě je proud protékající vodičem s ideálním odporem přímo úměrný napětí vloženému na odpor tohoto vodiče. Ideálním odporem rozumíme takový, který nemění svou hodnotu v důsledku změny hodnoty proudu, který jím protéká, ani v důsledku změny napětí na něm uloženého. Z toho vyplývá, že proudově-napěťová charakteristika ideálního rezistoru (tj. rezistoru bez kapacit a parazitních indukčností) je lineární a že odpor má podle Ohmova zákona konstantní součinitel úměrnosti mezi proudem a napětím, který je vyjádřen vztahem:

R =U/I (2.1)

Kde:

R – Odpor [Ω]

U – napětí [V]

I – proud [A]

Jednotkou odporu je 1Ω (ohm) – pokud na svorky rezistoru s touto hodnotou odporu přivedeme napětí 1V, poteče tímto rezistorem proud 1A. V závislosti na hledané velikosti lze výše uvedený vzorec transformovat pomocí jednoduchých algebraických transformací.

Určení elektrického výkonu na základě Ohmova zákona

V důsledku průchodu elektrického proudu médiem s určitým odporem dochází k rozptylu energie na tomto médiu. Tento výkon lze snadno vypočítat pomocí Ohmova zákona díky tomu, že stejně jako odpor je elektrický výkon závislý na proudu a napětí podle následujícího vztahu:

P = UI (3.1)

pomocí substituce založené na transformaci vzorce (2.1):

U = RI (3.2)

vzorec (3.1) má tvar:

P = RI² (3.3)

Z rovnice (2.1) určíme také proud:

I = U/R (3.4)

Dosazením do rovnice (3.1) získáme tvar:

P=U²/R(3.5)

Kde:

R – odpor [Ω];

U – napětí [V];

I – proud [A];

P – elektrický výkon [W];

Jednotkou činného elektrického výkonu je 1W (watt). Kromě toho se rozlišuje také jalový elektrický výkon, jehož jednotkou je 1VAr (jalový voltampér), a zdánlivý výkon měřený ve voltampérech (VA), což je veličina, která kombinuje činný a jalový výkon, přičemž tyto druhy výkonu se používají při matematickém popisu střídavých elektrických obvodů.

Ohmův zákon v elektrických obvodech střídavého proudu s konzervativními prvky

Matematické vztahy uvedené v tomto článku se dosud zabývaly stejnosměrnými obvody, které jsou sestaveny z prvků čistě odporové povahy, zjednodušeně reprezentovaných jako již zmíněné ideální rezistory, které rozptylují výkon. V takových obvodech spotřebiče vzhledem ke své odporové povaze spotřebovávají pouze činný výkon podle vztahu (3.1). Uvažujeme-li Ohmův zákon pro obvody, v nichž zdroje dodávají napětí s časově proměnným průběhem (např. Uvažujeme-li Ohmův zákon pro obvody, v nichž zdroje energie poskytují napětí s časově proměnným průběhem (např. sinusový, obdélníkový, trojúhelníkový průběh) a v nichž se kromě odporových prvků vyskytují kapacitní prvky schopné uchovávat energii v elektrickém poli (obvykle reprezentované jako kondenzátory) a/nebo induktivní prvky schopné uchovávat energii v magnetickém poli (obvykle reprezentované jako induktory), pak je pro popis Ohmova zákona pro takové obvody nutné použít impedanci – komplexní veličinu, která se skládá z reálné části v podobě již známého odporu a imaginární části v podobě reaktance:

Z=R+jX (4.1)

Kde:

Z – impedance [Ω];

R – odpor [Ω];

X – reaktance [Ω];

j – imaginární jednotka: j² = -1

Reaktance je veličina, která závisí na indukčnosti, kapacitě a frekvenci zdroje napětí napájejícího obvod:

X =XL-XC= ωL – 1/ωC (4.2)

přičemž je vyjádřen vztah mezi úhlovou pulzací a frekvencí:

ω=2πf (4.3)

Kde:

X – reaktance [Ω];

X_L – induktivní reaktance [Ω];

X_C – kapacitní reaktance [Ω];

L – indukčnost [H];

C – kapacita [F];

ω – úhlová pulzace [rad/s];

f – frekvence[Hz].

Pro vyjádření Ohmova zákona pro střídavý proud se pak proud a napětí používají také jako složené veličiny:

Z=U/I (4.4)

Pokud podmínka existuje:

ωL =1/(ωC) (4.5)

Tehdy:

Z = R (4.6)

Pokud je v obvodech obsahujících odporové a reaktanční prvky splněna podmínka (4.5), pracuje obvod ve stavu proudové rezonance, v němž, přestože má obvod odporovou povahu, dochází k výměně energie elektrického a magnetického pole mezi reaktančními prvky. Tento jev se využívá mj. Tento jev se využívá například v telekomunikacích k navázání rádiového spojení mezi dvěma zařízeními. V elektrických sítích je naopak elektrická rezonance nežádoucím jevem a může vést k poškození energetických zařízení a ke zvýšení chyb měření v kapacitních transformátorech napětí pro fakturační a ochranná měření – aby se tomu zabránilo, používají se speciální konstrukce vinutí a v systémech kompenzace jalového výkonu se používají antirezonanční filtry v podobě tlumivek. Prezentované vztahy však nabývají složitější podoby při analýze obvodů s nesinusovými střídavými signály, které vyžadují mimo jiné použití Fourierovy transformace a Fourierovy řady. Používá se Fourierova transformace a Fourierovy řady.

Ohmův zákon – konduktivní a admitanční formy

Rovnice (2.1) a (4.4) představují nejčastěji používané formy Ohmova zákona. Lze říci, že například hodnota odporu rezistoru popisuje, jak moc tento rezistor “brání” průtoku proudu pod vlivem daného napětí. Reciproční hodnota činného elektrického odporu, tj. odporu, je konduktivita. Opakem činného elektrického odporu, tj. rezistivity, je konduktivita, známá také jako činná elektrická vodivost:

G =1/R (5.1)

Kde:

G – konduktivita [S];

R – odpor [Ω].

Při popisu parametrů střídavého obvodu se používají také inverzní hodnoty impedance a reaktance. Inverzní hodnota zdánlivého elektrického odporu, tj. impedance (4.1), je pak zdánlivá elektrická vodivost, tj. permitivita. admitance, která je rovněž komplexní veličinou:

Y=1/Z (5.2)

zatímco obrácená hodnota reaktance (4.2) je jalová elektrická vodivost, tj. susceptibilita:

B = – (1/X) (5.3)

Doplněním vztahů (5.1) a (5.3) získáme součet reálné složky, konduktivity, a imaginární složky, reaktance, tj. admitance:

Y = G + jB (5.4)

Kde:

Y – přípustnost [S];

G – konduktivita [S];

B – susceptibilita [S];

j – imaginární jednotka: j²=-1

Jednotkou konduktivity, susceptibility i admitance je 1S (Simens) – jednotka je pojmenována po německém elektrotechnikovi Ernstu Werneru von Siemensovi.

Praktické použití Ohmova zákona

V každodenním životě mnoho elektrických a elektronických zařízení kolem nás využívá Ohmův zákon nejen jako základní princip činnosti přijímače nebo zdroje elektrické energie, ale také jej funkčně využívá. Z mnoha praktických aplikací Ohmova zákona stojí za zmínku např:

• Ruční regulace otáček elektromotoru pohánějícího ventilátor – otáčením potenciometru ovlivňujeme omezení proudu odebíraného motorem, což se navenek projeví jako zvýšení nebo snížení otáček vrtule ventilátoru. V době rychlého rozvoje výkonové elektroniky a elektromechanických systémů se stále častěji objevují řešení využívající polovodičové prvky v systémech regulace otáček;
• Získání různých napájecích napětí pro elektronické obvody, např. v elektroakustických systémech – za účelem získání tzv. K dosažení tzv. zdánlivé země, tj. Aby bylo možné získat tzv. symetrické napětí s jedním zdrojem pro operační zesilovače, je třeba k napájení s napětím např. 9,0 V připojit odporový dělič, aby se získalo napětí 4,5 V;
• Při měření odporu a reaktance elektrických součástek a obvodů je Ohmův zákon základem pro fungování měřicích přístrojů – při přímém měření odporu rezistoru pomocí digitálního multimetru se na rezistor přivede zkušební napětí např. 1 V, které vyvolá průtok proudu. Interní algoritmus odečte (počínaje vzorkováním) proud protékající rezistorem a vynásobí jej hodnotou testovacího napětí. Vypočtený výsledek se zobrazí na displeji multimetru;
• V tzv. Při tzv. metodě měření technického odporu, kdy se odpor měří nepřímo pomocí voltmetru a ampérmetru, je třeba navíc zohlednit vnitřní odpor měřicích přístrojů a správně je zapojit, aby bylo možné provést správné měření napětí a proudu s ohledem na to, zda měříme parametry pro přijímač nebo pro generátor napětí měření.

Kdy Ohmův zákon selhává?

Ačkoli je Ohmův zákon v elektrotechnice v nejširším slova smyslu běžným nástrojem, bohužel podléhá určitým omezením, která znamenají, že nefunguje tak dobře jako v obvodech s prvky a lineárními ustálenými charakteristikami proudu a napětí. Především je největší problém v obvodech, které zahrnují přenos elektrických signálů v jednom směru pomocí polovodičových prvků, jako jsou diody a tranzistory, jejichž největším problémem je jejich nelineární charakteristika v důsledku přítomnosti nenulového prahového napětí na polovodičovém přechodu, za nímž prvek začíná vést – u křemíkových polovodičů je to obvykle cca 1,5 %. 0,7 V, zatímco u germaniových polovodičů začíná vodivost, když napětí překročí přibližně 0,5 V. 0,2V. To se pak označuje jako nelinearita součástky. S podobným problémem se setkáváme také při zkoušení odolnosti oblouku, jehož parametry jsou určeny rozsáhlými okrajovými podmínkami, které navíc zohledňují faktory, jako je teplota, tlak, rozložení intenzity elektrického pole a časový průběh obloukového proudu a napětí, jakož i typ obsahu harmonických v časových průbězích popisujících oblouk.

Kirchhoffovy zákony – univerzální nástroj pro řešení i těch nejsložitějších elektrických obvodů

Kromě Ohmova zákona jsou cenným nástrojem při řešení elektrických obvodů zákony, jejichž aplikace zohledňuje topologii obvodu, tj. jeho uspořádání spojů. Kromě Georga Simona Ohma sehrál v oblasti teoretické elektrotechniky klíčovou roli další německý fyzik, Robert Gustav Kirchhoff, který v roce 1845 vypracoval zákony popisující proud a napětí v elektrických obvodech libovolného stupně roztažnosti, které jsou dnes známy jako Kirchhoffův proudový zákon (zkráceně PPK nebo KCL) a Kirchhoffův napěťový zákon. Kirchhoffův zákon proudu) a Kirchhoffův zákon napětí (zkráceně NPK nebo KVL). Podívejme se, jaké termíny se používají pro popis grafické struktury elektrických obvodů a původu Kirchhoffových zákonů a jejich fyzikálního významu.

Základní definice prvků tvořících grafickou strukturu elektrického obvodu

Abyste byli zběhlí v řešení přechodných a ustálených elektrických obvodů analytickými i numerickými metodami s využitím Ohmova zákona i Kirchhoffových zákonů, je nezbytné znát následující pojmy a jejich význam. Patří mezi ně:

• Obvod – uzavřená kovová cesta, která umožňuje průchod elektrického proudu;
• Cesta – jedna linie spojující prvky obvodu;
• Uzel – spojení alespoň tří větví obvodu;
• Větev – je buď jeden prvek, nebo alespoň dva prvky spojené uzlem;
• Síť – otevřená jednotlivá část obvodu, která může obsahovat prvky tvořící obvod.

Kirchhoffův proudový zákon

Kirchhoffův proudový zákon, známý také jako “první Kirchhoffův zákon”, říká, že algebraický součet proudů tekoucích do uzlu a z uzlu je roven nule, jak je uvedeno v rovnici (9.1). Při analýze přechodných dějů v elektrických obvodech pomocí diferenciálních rovnic s počátečními podmínkami se tento zákon používá také v analogické podobě, s tím rozdílem, že se vztahuje k principu spojitosti elektrického náboje v uzlu v konečném čase předtím, než v obvodu nastane přechodný děj v důsledku změny grafické struktury obvodu nebo jeho parametrů, a poté, co přechodný děj nastane.

(9.1)

kde:

i – i-tý z proudů vstupujících do uzlu;

k – k-tý z proudů vstupujících do uzlu.

 

Kirchhoffův napěťový zákon

Kirchhoffův napěťový zákon, známý také jako “druhý Kirchhoffův zákon”, říká, že algebraický součet úbytků napětí na prvcích obvodové sítě se rovná součtu elektromotorických sil tohoto obvodu, jak je uvedeno v rovnici (10.1). V jiné verzi, která bere v úvahu zdroje napětí v obvodu, Kirchhoffův napěťový zákon uvádí, že součet úbytků napětí na prvcích obvodu a elektromotorických sil zdrojů v tomto obvodu je roven nule, jak uvádí rovnice (10.).(2) Při analýze přechodných dějů v elektrických obvodech pomocí diferenciálních rovnic s počátečními podmínkami se tento zákon používá rovněž v analogické podobě, s tím rozdílem, že platí pro princip spojitosti magnetického toku v síti v konečném čase před tím, než v obvodu nastane přechodný děj v důsledku změny grafické struktury obvodu nebo jeho parametrů, a po vzniku přechodného děje.

(10.1)

Kde:

i – i-tý z úbytků napětí v síti; k – j-tý z úbytků napětí v síti.

(10.2)

Kde:

h – h-tá z elektromotorických sil v síti obvodu; j – j-tá z elektromotorických sil v síti obvodu; i – i-tá z úbytků napětí v síti obvodu; k – j-tá z úbytků napětí v síti obvodu.